Теорема Пифагора на ОГЭ: как найти катет и гипотенузу

Какая сторона называется гипотенузой

В прямоугольном треугольнике две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза. Она всегда длиннее каждого катета. Положение рисунка не имеет значения: гипотенуза не обязана быть наклонной или находиться сверху.

Теорема Пифагора связывает длины этих сторон: a² + b² = c². Перед подстановкой подпиши стороны на собственном чертеже. Одного внешнего сходства с прямоугольным треугольником недостаточно: прямой угол должен следовать из условия или свойств фигуры.

Как найти гипотенузу

Пусть катеты равны 6 и 8. Складываем их квадраты, затем извлекаем квадратный корень:

Ответ 100 был бы квадратом длины, а требуется сама длина. Значение −10 не подходит: длина стороны положительна. Дополнительная проверка — 10 больше и 6, и 8.

Нельзя заменить √(36 + 64) суммой √36 + √64: это дало бы 14. Корень из суммы в общем случае не равен сумме корней.

Как найти неизвестный катет

Если гипотенуза равна 13, а один катет — 5, сначала вырази квадрат второго катета: b² = c² − a². Теперь вычитай квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.

Полученный катет меньше гипотенузы: 12 < 13. Если под корнем получилось отрицательное число, проверь, правильно ли ты определил гипотенузу, переписал данные и выполнил вычитание.

Диагональ прямоугольника

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Его стороны становятся катетами, а диагональ — гипотенузой. Для прямоугольника со сторонами 9 и 12 диагональ d = √(9² + 12²) = √225 = 15.

В квадрате со стороной a формула даёт d = a√2. Например, при a = 4 диагональ равна 4√2, а не 8. Не пытайся обязательно получить целое число: корректный результат может содержать корень. Формат окончательного ответа выбирай по условию задачи.

Если известны диагональ прямоугольника 10 и сторона 6, вторую сторону находят как катет: √(100 − 36) = 8. Полезно каждый раз выделять нужный треугольник на чертеже, даже если формула уже знакома.

Три проверки перед записью ответа

• Есть ли основание считать угол прямым? Для произвольного треугольника формула a² + b² = c² не подходит.
• Самая длинная ли сторона выбрана гипотенузой? Катет не может оказаться длиннее неё.
• Извлечён ли корень? Число c² не равно длине c.

Обратное утверждение тоже полезно: если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух остальных, треугольник прямоугольный. Для сторон 7, 24 и 25 получаем 49 + 576 = 625, поэтому угол напротив стороны 25 — прямой.

Реши самостоятельно

1) Катеты равны 9 и 12. Найди гипотенузу. 2) Гипотенуза равна 17, катет — 8. Найди второй катет. 3) Стороны прямоугольника равны 5 и 12. Найди диагональ.

Дальше открой тренировку по теореме Пифагора. Если решение получается только по образцу, вернись к новой задаче через несколько дней и попробуй объяснить, почему выбрал сложение или вычитание. Такой способ повторения описан в плане подготовки к ОГЭ.